Qu'est-ce qu'un quaternion ?

Votre téléphone sait toujours dans quelle direction il pointe. Inclinez-le, et l’écran pivote avec vous ; levez-le dans une expérience de réalité augmentée, et l’objet virtuel reste posé sur la table pendant que le téléphone tourne autour. Chacune de ces images part de la même question : comment le téléphone est-il orienté dans l’espace, en ce moment précis ?

La réponse que votre navigateur transmet à la page n’est ni trois angles, ni une grille de neuf nombres. Ce sont quatre nombres : un quaternion. Ces mêmes quatre nombres orientent chaque tache d’une scène en Gaussian splatting, chaque os d’un personnage animé et le contrôle d’attitude de chaque engin spatial.

Un quaternion a des airs de magie en quatre dimensions. Il n’en est rien, ou du moins il n’est pas nécessaire de se représenter quatre dimensions pour s’en servir. Ce guide le construit pas à pas, de la rotation dans un plan aux quatre nombres eux-mêmes, en passant par le piège des trois angles, avec à chaque étape une figure à manipuler.

Tourner dans un plan : un seul angle suffit

En deux dimensions, une rotation se résume à un seul nombre : un angle. Faites tourner un téléphone posé à plat de 30°, puis de 20° : il a tourné de 50°. L’ordre n’a aucune importance, et rien ne peut mal tourner.

Il existe une manière élégante de l’écrire. Posez le téléphone sur le plan complexe, où chaque point est un nombre a + b i. Les points à distance 1 du centre forment le cercle unité, et chacun s’écrit cos θ + i sin θ. Multiplier par ce nombre fait tout tourner de θ. Multipliez par i lui-même, et vous obtenez un quart de tour ; faites-le deux fois, i² = −1, et c’est un demi-tour.

Gardez cette image en tête. Un quaternion, c’est exactement cette idée, une dimension plus haut : un nombre dont la multiplication effectue une rotation. Ce qui complique les choses en trois dimensions, c’est qu’il n’existe plus un seul cercle le long duquel tourner.

Trois angles : lacet, tangage et roulis

La façon naturelle de décrire une orientation en 3D est d’utiliser trois angles, un par axe. Les pilotes parlent de lacet, de tangage et de roulis ; les mathématiciens, d’angles d’Euler, du nom de Leonhard Euler, qui a démontré en 1775 qu’on passe de n’importe quelle orientation à n’importe quelle autre par une seule rotation autour d’un seul axe.

Les angles que donne votre téléphone

Il existe une douzaine de façons de définir trois angles, selon les axes autour desquels on tourne et l’ordre dans lequel on le fait. Les navigateurs utilisent une convention précise, fixée par la spécification DeviceOrientation du W3C :

• α (alpha), le lacet : une rotation autour de l’axe vertical, comme un cap de boussole ;
• β (bêta), le tangage : une rotation autour de l’axe gauche-droite du téléphone lui-même. À β = 0°, le téléphone est à plat, écran vers le haut ; à β = 90°, il est tenu droit, face à vous ;
• γ (gamma), le roulis : une rotation autour de l’axe haut-bas du téléphone.

Elles s’appliquent dans cet ordre, chacune autour des axes laissés par les précédentes. Mécaniquement, imaginez le téléphone monté dans trois anneaux imbriqués, ce que les ingénieurs appellent une suspension à cardan.

Le blocage de cardan

À un tangage d’exactement 90°, le premier et le troisième anneau s’alignent. Tourner l’anneau extérieur ou l’anneau intérieur fait alors pivoter le téléphone autour du même axe vertical ; seule leur combinaison compte encore. Un degré de liberté a disparu : il existe une direction dans laquelle aucun anneau ne peut faire tourner le téléphone. C’est le blocage de cardan (gimbal lock en anglais).

L’orientation elle-même n’a rien d’anormal. Le problème vient de la description : autour de cette position, un petit mouvement régulier de l’objet exige des variations énormes et brutales des angles. Dans la figure, tourner de 20° comme un volant le téléphone tenu droit fait basculer le lacet et le roulis de 90° en sens opposés. Tout logiciel qui stocke des angles d’Euler, les interpole ou les filtre pour en retirer le bruit bute précisément à cet endroit.

Le blocage de cardan n’est pas qu’une curiosité de manuel. La plateforme inertielle des vaisseaux Apollo comptait trois cardans, et les contrôleurs de vol devaient éviter l’orientation bloquante ; un astronaute a d’ailleurs plaisanté en demandant qu’on lui offre un quatrième cardan pour Noël.

Pourquoi la réalité augmentée y tombe tous les jours

Relisez la convention : β = 90°, c’est le téléphone tenu droit, écran face à vous. C’est exactement ainsi qu’on tient un téléphone en réalité augmentée. La position la plus courante en RA est précisément la position de blocage des angles que donne le navigateur. Un moteur de RA qui calculerait en α, β et γ tremblerait dès que vous lèveriez votre téléphone. C’est l’une des raisons pour lesquelles les moteurs de RA font leurs calculs en quaternions.

Les quatre nombres d’Hamilton

Le 16 octobre 1843, en longeant le Royal Canal à Dublin, le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton trouve ce qu’il cherchait depuis des années : une manière de multiplier des triplets de nombres comme les nombres complexes multiplient des paires. La réponse ne demandait pas trois nombres, mais quatre. Il grave la règle dans la pierre du pont de Broom (Brougham Bridge), où une plaque la rappelle encore :

i² = j² = k² = ijk = −1

Un quaternion est un nombre w + x i + y j + z k, avec une partie ordinaire w et trois unités imaginaires qui se multiplient entre elles ainsi :

| × | i | j | k | |---|---|---|---| | i | −1 | k | −j | | j | −k | −1 | i | | k | j | −i | −1 |

Le tableau réserve une surprise : ij = k, mais ji = −k. L’ordre d’un produit compte. Ce n’est pas un défaut : comme on va le voir, les rotations en 3D se comportent exactement de la même manière.

Un axe et un angle

Le théorème d’Euler dit que toute orientation s’obtient par une seule rotation d’un certain angle θ autour d’un certain axe u. Un quaternion écrit directement cette rotation :

q = ( cos θ/2 , sin θ/2 · u )

Le premier nombre, w, dit de combien on tourne ; les trois autres sont l’axe u, multiplié par sin θ/2 : ils pointent le long de l’axe. Comme l’axe est de longueur 1, les quatre nombres vérifient toujours w² + x² + y² + z² = 1 : une rotation est un point sur la sphère unité à quatre dimensions, tout comme une rotation en 2D était un point sur le cercle unité.

Pourquoi la moitié de l’angle ?

La formule utilise θ/2, et non θ, et la figure en montre une conséquence : après un tour complet, q = (−1, 0, 0, 0) et non (1, 0, 0, 0). La raison apparaît dès qu’on se sert d’un quaternion pour faire tourner quelque chose.

Faire tourner un point : q p q⁻¹

Pour faire tourner un point p = (x, y, z), on l’écrit comme un quaternion sans partie ordinaire, (0, x, y, z), et on calcule un « sandwich » :

p′ = q p q⁻¹

où q⁻¹, l’inverse, est q dont on a changé le signe des trois derniers nombres. Par exemple, faire tourner le point (1, 0, 0) de 90° autour de l’axe vertical utilise q = (0,707 ; 0 ; 0 ; 0,707) et donne p′ = (0, 0, 1, 0) : le point (0, 1, 0), exactement là où l’amène un quart de tour.

La figure montre pourquoi un seul produit ne suffit pas. Décomposez le point en une partie le long de l’axe et une partie perpendiculaire :

• perpendiculairement à l’axe, chacun des deux produits fait tourner le point de θ/2. Ensemble, ils le font tourner de θ, exactement comme la multiplication par cos θ + i sin θ dans le plan ;
• le long de l’axe, le premier produit pousse le point dans w, hors de nos trois dimensions, et le second l’y ramène intact.

Chaque multiplication fait la moitié du travail : voilà pourquoi l’angle est divisé par deux dans q. Et le sandwich annule tout ce qui fuit dans la quatrième dimension, si bien que le résultat est toujours un vrai point en 3D.

Ce que les quaternions font bien

Des rotations dans le bon ordre

En 3D, les rotations ne commutent pas : un quart de tour vers l’avant puis un quart de tour sur le côté n’aboutit pas au même endroit que les deux mêmes rotations dans l’ordre inverse. Essayez avec un livre posé sur votre bureau. La multiplication des quaternions a exactement la même propriété : combiner des rotations revient donc simplement à multiplier leurs quaternions, q_B q_A signifiant « A d’abord, puis B ».

Des transitions fluides : le slerp

L’animation, les trajectoires de caméra et le suivi en RA ont tous besoin d’orientations entre deux orientations connues. Avec les angles d’Euler, la méthode évidente, faire la moyenne des trois angles, déraille dès que les positions sont proches du blocage ou de part et d’autre de la limite des 180° d’un angle : l’objet fait un immense détour, en accélérant et en ralentissant en chemin.

Les quaternions ont une réponse nette : le slerp (spherical linear interpolation), introduit par Ken Shoemake pour l’animation par ordinateur en 1985. Il avance le long du grand arc qui relie les deux quaternions sur leur sphère, à vitesse constante, ce qui revient à tourner autour d’un seul axe fixe à un rythme régulier : le chemin le plus court et le plus fluide d’une orientation à l’autre.

Un tour complet n’est pas tout à fait rien : q et −q

À cause de la moitié de l’angle, q et −q décrivent toujours la même orientation : changer le signe des quatre nombres ajoute 360° à la rotation, ce qui ne change rien à ce qu’on voit. Chaque orientation a donc exactement deux quaternions. Les logiciels doivent s’en souvenir à deux endroits : le slerp doit choisir, entre q et −q, le plus proche avant d’interpoler (la case à cocher ci-dessus), et deux quaternions doivent être comparés au signe près.

Cette double couverture n’est pas un accident de notation. Elle traduit une vraie propriété des rotations en 3D : une rotation de 360° n’équivaut pas tout à fait à ne rien faire, alors qu’une rotation de 720°, si. On peut le vérifier avec une ceinture attachée à un livre, ou une tasse posée dans la paume de la main : après un tour complet, le bras ou la ceinture est tordu, et après un second tour dans le même sens, il se détord tout seul.

Les erreurs d’arrondi : quatre nombres se réparent mieux que neuf

Une matrice de rotation stocke une orientation sous forme de neuf nombres, qui doivent rester des vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux. Multipliez des milliers de petites rotations entre elles, une par image, pendant des minutes, et les erreurs d’arrondi finissent par casser cette structure : la matrice se met à étirer et à cisailler l’objet. La réparer (la réorthogonaliser, par exemple par Gram-Schmidt) demande un vrai calcul.

Un quaternion n’a qu’une propriété à préserver : sa longueur de 1. Quand il dérive, diviser les quatre nombres par leur longueur redonne une rotation parfaite. Ce n’est peut-être pas exactement la bonne, puisque les erreurs d’arrondi sont toujours là, mais c’est toujours une rotation rigide, jamais une déformation.

Les quaternions chez ARGO

Dans chaque Gaussian splat

Une scène en Gaussian splatting se compose de centaines de milliers, voire de millions de petits ellipsoïdes, et l’orientation de chacun est stockée sous forme de quaternion : quatre des 59 nombres qui décrivent une gaussienne. Pour un million de gaussiennes, cela représente 16 Mo en nombres flottants de 32 bits, contre 36 Mo avec des matrices de rotation. Pendant l’entraînement, l’optimiseur ajuste librement ces quatre nombres puis les renormalise, ce qu’il ne pourrait pas faire avec neuf nombres soumis à des contraintes.

Notre propre visionneuse en direct, dans cet article, va plus loin et range chaque quaternion sur 3 octets : puisque q et −q sont la même rotation, on peut toujours choisir le signe qui rend w positif, et w se recalcule alors à partir des trois autres.

Dans votre téléphone et dans WebXR

Sur le web, l’orientation d’un téléphone arrive de deux façons. Les événements DeviceOrientation fournissent les trois angles α, β et γ, avec tous les problèmes décrits plus haut. L’API WebXR, utilisée pour la réalité augmentée et virtuelle dans le navigateur, fournit directement la position de l’appareil sous forme de quaternion (XRRigidTransform.orientation), et les bibliothèques 3D comme three.js calculent en quaternions en interne. Nos projets de WebAR reposent sur ces quatre nombres à chaque image. Notre travail part de la position du téléphone ; pour savoir comment cette position est suivie en premier lieu, voyez notre article sur AMB3R-SLAM.

Un piège mérite d’être connu : l’ordre des quatre nombres. Cet article, le format de fichier du Gaussian splatting et une bonne partie de la littérature scientifique écrivent (w, x, y, z) ; three.js, WebXR, glTF et Unity stockent (x, y, z, w). Confondre les deux est le bug le plus courant avec les quaternions.

// alpha, beta, gamma en degrés, tels que les donne DeviceOrientationEvent
function orientationToQuaternion(alpha, beta, gamma) {
  const h = Math.PI / 360 // degrés vers radians, divisé par deux
  const cz = Math.cos(alpha * h), sz = Math.sin(alpha * h)
  const cx = Math.cos(beta * h), sx = Math.sin(beta * h)
  const cy = Math.cos(gamma * h), sy = Math.sin(gamma * h)
  return [
    cx * cy * cz - sx * sy * sz, // w
    sx * cy * cz - cx * sy * sz, // x
    cx * sy * cz + sx * cy * sz, // y
    cx * cy * sz + sx * sy * cz, // z
  ]
}

Angles d’Euler, matrice ou quaternion ?

| | Angles d’Euler | Matrice de rotation | Quaternion | |---|---|---|---| | Nombres stockés | 3 | 9 | 4 | | Lisible par un humain | oui | non | pas vraiment | | Blocage de cardan | oui | non | non | | Combiner deux rotations | malcommode | multiplier (27 produits) | multiplier (16 produits) | | Interpolation fluide | non | malcommode | slerp | | Réparation après arrondi | — | réorthogonaliser | diviser par la longueur |

Chacun a sa place. Les angles d’Euler restent la meilleure façon de montrer une orientation à une personne, ou de la saisir. Les matrices sont ce que la carte graphique utilise au final pour transformer les sommets. Les quaternions sont la meilleure façon de stocker, combiner et interpoler les orientations entre les deux, et c’est pourquoi presque tous les moteurs 3D les gardent à cet endroit.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un quaternion, en termes simples ?

Quatre nombres qui décrivent une rotation en 3D : le premier indique de combien l’objet tourne (le cosinus de la moitié de l’angle), les trois autres autour de quel axe (l’axe multiplié par le sinus de la moitié de l’angle). Mathématiquement, c’est un nombre avec une partie ordinaire et trois parties imaginaires, inventé par William Rowan Hamilton en 1843.

Pourquoi les quaternions utilisent-ils la moitié de l’angle ?

Parce qu’on fait tourner un point en le multipliant deux fois, une fois par q à gauche et une fois par son inverse à droite (q p q⁻¹). Chaque multiplication fait tourner le point de la moitié de l’angle, et les deux ensemble donnent la rotation complète.

Qu’est-ce que le blocage de cardan, et les quaternions l’évitent-ils ?

Le blocage de cardan survient avec trois angles quand celui du milieu atteint 90° : deux des trois axes s’alignent, et une direction de rotation ne peut plus être décrite en douceur. C’est un défaut de la description, pas de l’objet. Les quaternions n’ont pas d’orientation particulière de ce genre : ils l’évitent complètement.

Pourquoi q et −q décrivent-ils la même rotation ?

Changer le signe des quatre nombres ajoute un tour complet de 360° à la rotation, à cause de la moitié de l’angle. Un tour complet ramène l’objet à sa place : les deux quaternions donnent donc la même orientation. Les programmes en tiennent compte pour comparer ou interpoler des quaternions.

Quaternion, angles d’Euler ou matrice de rotation : lequel utiliser ?

Les angles d’Euler pour afficher ou saisir une orientation, les matrices pour transformer beaucoup de points sur la carte graphique, les quaternions pour stocker, combiner et interpoler les orientations entre les deux. La plupart des moteurs 3D passent sans cesse de l’un à l’autre.

Comment obtenir le quaternion d’un téléphone dans une page web ?

Avec WebXR, la position de l’appareil contient déjà un quaternion (orientation, dans l’ordre x, y, z, w). Avec les événements DeviceOrientation, vous recevez trois angles α, β et γ, que vous convertissez vous-même en appliquant les trois rotations dans l’ordre Z, X, Y. Sur iPhone, la page doit d’abord demander à l’utilisateur l’autorisation de lire les capteurs de mouvement.

Sources et lectures complémentaires

• William Rowan Hamilton, On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra, Philosophical Magazine, 1844-1850 — transcription, Trinity College Dublin
• Olinde Rodrigues, Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1840 — Numdam. Trois ans avant Hamilton, le mathématicien français avait déjà trouvé la formule qui compose deux rotations.
• Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, SIGGRAPH 1985 — ACM Digital Library
• W3C, DeviceOrientation Event Specification et WebXR Device API
• Grant Sanderson (3Blue1Brown) et Ben Eater, Visualizing quaternions, une exploration interactive de l’image en quatre dimensions (en anglais)
• Kerbl, Kopanas, Leimkühler, Drettakis, 3D Gaussian Splatting for Real-Time Radiance Field Rendering, SIGGRAPH 2023 — arXiv:2308.04079
• Sreenivasan Rajesh Venkitachalam, Quaternions Explained: 3D Rotation and Their Role in 3DGS, LinkedIn, 16 septembre 2026 — linkedin.com, l’article qui a inspiré celui-ci

Vérifié en septembre 2026.